Question

在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．

（1）求∠D的度数；

（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．

①如图1，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；

②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．

Answer

（1）90°；（2）①四边形AGDH为正方形，理由详见解析；②k=．

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件，由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，即可证得结论；（2）①先判断AB∥DE，DF∥AC，得到平行四边形，再判断出是正方形；②先判断面积最大时点D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8﹣GA，得到S矩形AGDH=﹣AG2+8AG，确定极值，AG=3时，面积最大，最后求k得值．

试题解析：（1）∵AB2+AC2=100=BC2，

∴∠BAC=90°，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠D=∠BAC=90°，

（2）①四边形AGDH为正方形，

理由：如图1，

延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠B=∠C，

∵EF∥BC，

∴∠E=∠EMC，

∴∠B=∠EMC，

∴AB∥DE，

同理：DF∥AC，

∴四边形AGDH为平行四边形，

∵∠D=90°，

∴四边形AGDH为矩形，

∵GH⊥AD，

∴四边形AGDH为正方形；

②当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，

理由：如图2，

点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，

∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，

∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，

只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，

如图3，

点D在BC上，

∵DG∥AC，

∴△BGD∽△BAC，

∴，

∴，

∴，

∴AH=8﹣GA，

S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8﹣AG）=﹣AG2+8AG，

当AG=﹣=3时，S矩形AGDH最大，此时，DG=AH=4，

即：当AG=3，AH=4时，S矩形AGDH最大，

在Rt△BGD中，BD=5，

∴DC=BC﹣BD=5，

即：点D为BC的中点，

∵AD=BC=5，

∴PA=AD=5，

延长PA，∵EF∥BC，QP⊥EF，

∴QP⊥BC，

∴PQ是EF，BC之间的距离，

∴D是EF的距离为PQ的长，

在△ABC中，AB×AC=BC×AQ

∴AQ=4.8

∵△DEF∽△ABC，

∴k=．

考点：相似三角形的综合题.