Question

如图，在平面直角坐标系中．有抛物线和.抛物线经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B．P是抛物线上一点，且在x轴上方．过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．过点Q作PQ的垂线交抛物线于点（不与点Q重合），连结.设点P的横坐标为m．

（1）求a的值；

（2）当抛物线经过原点时，设△与△OAB重叠部分图形的周长为l．

①求的值；

②求l与m之间的函数关系式；

（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、Q、为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值．

Answer

（1）；（2）①；②；（3）h=3或或．

【解析】

试题分析：（1）把（0，0）代入即可解决问题．

（2）①用m的代数式表示PQ、QQ′，即可解决问题．

②分0＜m≤3或3＜m＜6两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决．

（3），①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，四边形OAQQ′是等腰梯形．②当四边形OQ′1Q1A是菱形时，求出抛物线对称轴即可解决问题．

试题解析：（1）∵抛物线经过原点，∴x=0时，y=0，∴9a+4=0，∴；

（2）∵抛物线经过原点时，∴h=0，∵，∴．

①将化为；设P（m，），Q（m，），∴PQ＝，QQ′＝2m，∴=；

②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，∵，∠PQQ′=∠BMO=90°，∴△PQQ′∽△BMO，∴∠QPQ′=∠OBM，∵EF∥BM，∴∠OEF=∠OBM，∴∠OEF=∠QPQ′，∴OE∥PQ′，∵，∴EF=，OE=，∴l=OF+EF+OE==4m；

当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．

∵AF=6﹣m，tan∠EAF=，∴EF=，AE=，∵tan∠PGF=，PF=，∴GF=，∴AG=，∴GM=AM=，∵HG=HA==，∴l=GH+EH+EF+FG=．

综上所述：．

（3）如图3中，①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，∴点O、A关于对称轴对称，点Q，Q′关于对称轴对称，∴OA∥QQ′，OQ′=AQ，∴四边形OAQQ′是等腰梯形，属于轴对称图形．

②当四边形OQ′1Q1A是菱形时，OQ′1=OA=6，∵Q′1Q1=OA=6，∴点Q1的纵坐标为4，在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，∴HQ′1=，∴h=或；

综上所述：h=3或或时，点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形．

考点：二次函数综合题；分类讨论；压轴题．