Question

如图：在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，且四边形ABCD为矩形，AB=4，点D与点A关于原点O成中心对称，tan∠ACB=，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的长和点D的坐标；

（2）说明△AEF与△DCE相似；

（3）点M在第二象限，且在直线BC的下方，点N在平面内，是否存在这样点M，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，且矩形的长：宽=4：3？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)5；D（3，0）；（2）证明见解析；（3）存在，M的坐标是（-3，）．

【解析】

试题分析：（1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的长，求出BC与AC的长，利用对称性确定出D坐标即可；

（2）由对称性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

（3）根据题意得到点M在线段AB上，点N在y轴上，由于矩形的长：宽=4：3，得到，或，求得BM=或BM=4（不合题意，舍去），于是得到结论．

试题解析：（1）由题意tan∠ACB=，

∴cos∠ACB=．

∵四边形ABCO为矩形，AB=4，

∴BC==3，AC==5，

∴A点坐标为（-3，0），

∵点D与点A关于y轴对称，

∴D（3，0）；

（2）点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质）

∴∠AEF=∠DCE．

则在△AEF与△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE；

（3）存在，如图，

∵点M在第二象限，且在直线BC的下方，点N在平面内，

∵B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，

∴点M在线段AB上，点N在y轴上，

∵矩形的长：宽=4：3，

∴，或，

∵BC=3，

∴BM=或BM=4（不合题意，舍去），

∴M的坐标是（-3，）．

考点：相似形综合题．