Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

Answer

(1)证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．

（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．

试题解析：（1）∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠DCF．

在△BFC和△DFC中，

∴△BFC≌△DFC（SAS）．

（2）连接BD．

∵△BFC≌△DFC，

∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．

∵DF∥AB，

∴∠ABD=∠FDB．

∴∠ABD=∠FBD．

∵AD∥BC，

∴∠BDA=∠DBC．

∵BC=DC，

∴∠DBC=∠BDC．

∴∠BDA=∠BDC．

又∵BD是公共边，

∴△BAD≌△BED（ASA）．

∴AD=DE．

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.梯形．