Question

如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

Answer

(1)证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；

（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分线，

∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB=BE，

∴四边形ABEF是菱形．

（2）作PH⊥AD于H，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，

∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，

∴AP=AB=2，

∴PH=，DH=5，

∴tan∠ADP=．

考点：1.菱形的判定；2.平行四边形的性质；3.解直角三角形．