Question

如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线AM，垂足为M，已知△OAM的面积为1．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点A的坐标；

（3）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上确定一点P，使PA+PB最小．求点P的坐标．

Answer

（1）反比例函数的解析式为y=．（2）P点的坐标为（，0）．

【解析】试题分析：（1）设点A的坐标为（a，b），由点A在反比例函数图象上结合三角形△OAM的面积为1，可得出关于k、a、b的三元一次方程组，解方程即可求出k值，从而得出反比例函数解析式；

（2）联立直线与反比例函数解析式求出点A的坐标，找出点A关于x轴的对称点C的坐标，再结合反比例函数解析式求出点B坐标，连接BC即可找出点P的位置，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，令y=0求出x值即可得出点P的坐标．

试题解析：（1）设点A的坐标为（a，b），

则，解得：k=2．

∴反比例函数的解析式为y=．

（2）联立直线OA和反比例函数解析式得：

，解得：．

∴点A的坐标为（2，1）．

设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1），连接BC较x轴于点P，点P即为所求．如图所示．

设直线BC的解析式为y=mx+n，

由题意可得：B点的坐标为（1，2），

∴，解得：．

∴BC的解析式为y=-3x+5．

当y=0时，0=-3x+5，解得：x=．

∴P点的坐标为（，0）．

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.轴对称-最短路线问题．