Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x²-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．

（1）求点M、A、B坐标；

（2）连结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；

（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．

Answer

（1）M（1，-3），A（0，-2），B（3，1），（2），（3）（3，1）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）根据平移规律写出抛物线解析式，再求出M、A、B坐标即可．

（2）首先证明△ABE∽△AMF，推出的值，∠BAM=90°，根据tan∠ABM=即可解决问题．

（3）分点P在x轴上方或下方两种情形解决问题．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x-1）2-3，

∴顶点M（1，-3），

令x=0，则y=（0-1）2-3=-2，

∴点A（0，-2），

x=3时，y=（3-1）2-3=4-3=1，

∴点B（3，1），

（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，

∵EB=EA=3，

∴∠EAB=∠EBA=45°，

同理可求∠FAM=∠FMA=45°，

∴△ABE∽△AMF，

∴，

又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，

∴tan∠ABM=，

（3）过点P作PH⊥x轴于H，

∵y=（x-1）2-3=x2-2x-2，

∴设点P（x，x2-2x-2），

①点P在x轴的上方时，，

整理得，3x2-7x-6=0，

解得x1=-（舍去），x2=3，

∴点P的坐标为（3，1）；

②点P在x轴下方时，，

整理得，3x2-5x-6=0，

解得x1=（舍去），x2=，x=时，y=x2-2x-2=，

∴点P的坐标为（，），

综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，）．

考点：二次函数综合题．