Question

如图，已知∠MON=30°，点A₁、A₂、A₃在射线ON上，点B₁、B₂、B₃…在射线OM上，△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄…均为等边三角形，分别连接A₁B₂，连接A₂B₃…．若OA₁=a，从左往右的阴影面积依次记作S₁、S₂、S₃…S_n．则S_n=                ．

Answer

•a2．

【解析】

试题解析：∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=60°．

∵∠MON=30°，∴∠OB1A1=60°-30°=30°，

∴∠A1OB1=∠A1B1O，∴B1A=OA1=a．

同理：A2B2=OA2=2a，B3A3=OA3=4a，…

BnAn=2n-1•a，

∴S正△AnBnAn+1=BnAn2=（2n-1•a）2．

=•22n-2•a2=•4n-1•a2=•4n-2•a2．

∵△A1B1A2、△A2B2A3为等边三角形，

∴∠B1A1A2=∠B2A2A3=60°，

∴A1B1∥A2B2，

∴△A1B1C1∽△B2A2C1，

∴，

∴，

∴，即S1=S△A1B1A2．

同理可得Sn=S△AnBnAn+1=••4n-2•a2=•a2．

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质．