Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E为边AB上一点，ED=CD，以CE为直径作⊙O，交BC于点F．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若DF=1，DC=3，求AE的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD⊥BC得到BD=CD，则可判断OD为△BCE的中位线，所以OD∥BE，再根据等腰三角形的性质，由DE=DC，OE=OC得到DO⊥CE，则BE⊥CE，于是根据切线的性质可判断AB与⊙O相切；

（2）连结EF，如图，根据圆周角定理得∠EFC=90°，在Rt△DEF中利用勾股定理计算出EF=2，再在Rt△BEF中利用勾股定理计算出BE=2，然后根据平行线分线段成比例定理可求出AE的长．

试题解析：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∵OE=OC，

∴OD为△BCE的中位线，

∴OD∥BE，

∵DE=DC，OE=OC，

∴DO⊥CE，

∴BE⊥CE，

∴AB与⊙O相切；

（2）连结EF，如图，

∵CE为⊙O的直径，

∴∠EFC=90°，

在Rt△DEF中，∵DE=DC=3，DF=1，

∴EF=，

∵DB=DC=3，

∴BF=BD-DF=3-1=2，

在Rt△BEF中，∵EF=2，BF=2，

∴BE=，

∵EF∥AD，

∴，即，

∴AE=．

考点：1.切线的判定；2.勾股定理；3.平行线分线段成比例．