Question

如图所示，已知正△ABC中射线CM⊥AB于F，射线BA绕B顺时针旋转，旋转后的射线记作a，同时线段AB所在直线绕A顺时针旋转，旋转后的直线记作直线l，当直线l旋转的角度是射线a旋转角度的4倍时，直线l于射线CM相交于E，与射线a相交于D，且∠D=30°．

（1）求射线a的旋转角是多少度；

（2）求证：DE=AB；

（3）探索：线段DE，EF，DB的数量关系．

Answer

（1）10°；（2）证明见解析；（3）DB=EF+DE．

【解析】

试题分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和，直线a，l的旋转角的关系建立方程4α=30°+α即可；

（2）由∠BCE=∠D=30°，判断出点B，C，D，E四点共圆，再判断出∠EBD=∠BDC，即可；

（3）判断出△BDE≌△ECA，再代换即可．

试题解析：（1）设直线l旋转角为α，

∴∠ABD=α

∵射线l旋转的角度是射线a旋转角度的4倍，

∴∠BAE=4α，

∵∠BAE=∠ABD+∠D，

∴4α=α+30°，

∴α=10°，

射线a的旋转角是10°；

（2）连接BE，

在正△ABC中，CF⊥AB，

∴∠BCE=30°，

∵∠D=30°，

∴∠BCE=∠D=30°，

∴点B，C，D，E四点共圆（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆）

∵CE⊥AB，AF=BF，

∴EA=EB，

∴∠EBA=∠BAE=40°，

∴∠EBD=50°，∠EBC=100°，

∴∠EDC=80°，

∴∠BDC=50°

∴∠EBD=∠BDC，

∴DE=BC，

∵BC=AB，

∴DE=AB，

（3）∵∠BAE=40°，

∴∠AEC=50°，

∵∠ABE=40°，∠ABD=10°，

∴∠EBD=∠AEC=50°

∵∠BDE=∠ACE=30°，DE=AC，

∴△BDE≌△ECA，

∴BD=EC=EF+FC=EF+AB=EF+DE．

考点：几何变换综合题．