Question

如图1，抛物线y=ax²-11ax+24a（a＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．

（1）求线段OC的长和点B的坐标；

（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；

（3）如图2，折垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求这个最大值；

（4）在（3）的条件下，当取得最大值时，四边形ADNM是否为平行四边形？直接回答         （是或不是）．如果不是，请直接写出此时的点M的坐标．

Answer

（1）OC=8，B点坐标为（3，0）；（2）抛物线的解析式为y=-x2+x-12；（3）最大值为9；（4）不，M点的坐标为（5，3）.

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出；

（2）利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式；

（3）首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可；

（4）由条件可求得AD和MN，此时AD≠MN，可判定四边形ADNM不是平行四边形，由（3）容易求得M的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2-11ax+24a （a＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），

∴令y=0可得0=ax2-11ax+24a，解得x1=3，x2=8，

∴OC=8，B点坐标为（3，0）；

（2）如图1，连接AD，交OC于点E，

∵四边形OACD是菱形，

∴AD⊥OC，OE=EC=OC=×8=4，

∴BE=4-3=1，

又∵∠BAC=90°，

∴△ACE∽△BAE，

∴，

∴AE2=BE•CE=1×4，

∴AE=2，

∴点A的坐标为（4，2），

把点A的坐标（4，2）代入抛物线y=ax2-11ax+24a，得a=-，

∴抛物线的解析式为y=-x2+x-12；

（3）如图2，连接AD，交OC于点E，

∵直线x=n与抛物线交于点M，

∴点M的坐标为（n，-n2+n-12），

由（2）知，点D的坐标为（4，-2），

设直线CD的解析式为y=kx+b，

把C、D两点坐标代入可得，解得，

∴直线CD的解析式为y=x-4，

∴点N的坐标为（n，n-4），

∴MN=（-n2+n-12）-（n-4）=-n2+5n-8，

∴S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=MN•CE=（-n2+5n-8）×4=-（n-5）2+9，

∴当n=5时，四边形AMCN的面积有最大值，最大值为9；

（4）由（3）可知n=5，且MN=9，

∵A（4，2），D（4，-2），

∴AD=4≠MN，

∴四边形ADNM不是平行四边形，

当n=5时，代入y=-n2+n-12可求得y=3，

∴此时M点的坐标为（5，3）.

考点：二次函数综合题．