Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点（不与点B、C重合），过点P作PF∥y轴交抛物线于点F，连结DF．设点P的横坐标为m．

（1）求此抛物线所对应的函数表达式．

（2）求PF的长度，用含m的代数式表示．

（3）当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值．

Answer

（1）y=-x2+2x+3；（2）-m2+3m．（3）2.

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得答案；

（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得DE的长，根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值．

试题解析：（1）∵点A（-1，0），点B（3，0）在抛物线y=-x2+bx+c上，

∴，解得，

此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+3；

（2）∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+3，

∴C（0，3）．

设BC所在的直线的函数解析式为y=kx+b，将B、C点的坐标代入函数解析式，得

，解得，

即BC的函数解析式为y=-x+3．

由P在BC上，F在抛物线上，得

P（m，-m+3），F（m，-m2+2m+3）．

PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m．

（3）如图

，

∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+3，

∴D（1，4）．

∵线段BC与抛物线的对称轴交于点E，

当x=1时，y=-x+3=2，

∴E（1，2），

∴DE=4-2=2．

由四边形PEDF为平行四边形，得

PF=DE，即-m2+3m=2，

解得m1=1，m2=2．

当m=1时，线段PF与DE重合，m=1（不符合题意，舍）．

当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

考点：二次函数综合题．