Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，点D为BC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，当点P离开点A后，过点P作PE⊥AB交BC于点E，过点E作EF⊥AC于F，设点P运动时间为t（秒），矩形PEFA与△ADE重叠部分的面积为S平方单位长度．

（1）PE的长为           （用含t的代数式表示）；

（2）求S与t之间的函数表达式；

（3）求S的最大值及S取得最大值时t的值；

（4）当S为△ABC面积的时，t的值有     个．

Answer

(1) （4-t）．(2) S=．(3) ．(4)4.

【解析】

试题分析：（1）根据EP∥AC，得，列出比例式即可解决．

（2）分两种情形讨论①如图1中，当0＜t≤2时，根据S=•EG•AP即可计算，②如图2中，当2＜t≤4时，根据S=•GE•AF即可计算．

（3）分两种情形，利用配方法根据二次函数性质即可解决．

（4）分两种情形，列出方程即可解决，注意检验是否符合题意．

试题解析：（1）如图1中，∵EP∥AC，

∴，

∴,

∴PE=（4-t）．

（2）①当0＜t≤2时，

∵∠BAC=90°，CD=DB，

∴∠DAB=∠B，∵∠APG=∠BAC=90°，

∴△APG∽△BAC，

∴，

∴，

∴PG=t，

∴EG=3-t，

∴S=•EG•AP=-t2+t．

②当2＜t≤4时如图2中，∵∠FAG=∠C，∠AFG=∠BAC，

∴△AFG∽△CAB，

∴，

∴FG=4-t，GE=2t-4，

∴S=•GE•AF=-t2+-6．

综上所述S=．

（3）当0＜t≤2时，S=-（t-1）2+，

∵-＜0，

∴t=1时，S最大值为，

当2＜t≤4时，S=-（t-3）2+，

∵-＜0，

∴t=3时，S最大值为．

综上所述t=1或3时，S最大值都是．

（4）由题意-t2+t=，整理得到5t2-10t+4=0，t=符合题意．

或-t2+t-6=，整理得到5t2-30t+44=0，t=符合题意，

∴S为△ABC面积的时，t的值有四个．

考点：相似形综合题．