Question

如图，已知直线l₁∥l₂，且l₃与l₁，l₂分别交于A，B两点，l₄与l₁，l₂相交于C，D两点，点P在直线AB上．

（1）【探究1】如图1，当点P在A，B两点间滑动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化？并说明理由；

（2）【应用】如图2，A点在B处北偏东32°方向，A点在C处的北偏西56°方向，应用探究1的结论求出∠BAC的度数．

（3）【探究2】如果点P在A，B两点外侧运动时，试探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之间的关系，并说明理由．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”，再通过角的计算即可得出结论；

（2）分别在B点和A点处画方位图，结合（1）的结论即可算出结果；

（3）分点P的位置不同来考虑：①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合“两直线平行，内错角相等”找出“∠QPC=∠ACP，∠QPD=∠BDP”，再通过角的计算即可得出结论；②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，利用①的方法可得出结论．综合①②即可得出结论．

【解析】
（1）当点P在A、B两点间滑动时，∠2=∠1+∠3保持不变．理由如下：

过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图1所示．

∵PQ∥AC，

∴∠1=∠CPQ，

又∵PQ∥AC，BD∥AC，

∴PQ∥BD，

∴∠3=∠DPQ，

∴∠1+∠3=∠CPQ+∠DPQ，

即∠1+∠3=∠2．

（2）分别在B点和A点处画方位图，如图2所示．

由（1）知：∠2=∠1+∠3

∴∠BAC=32°+56°=88°．

（3）①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．

∵PQ∥AC，

∴∠QPC=∠ACP．

又∵PQ∥AC，BD∥AC，

∴PQ∥BD，

∴∠QPD=∠BDP．

又∵∠CPD=∠QPD﹣∠QPC，

∴∠CPD=∠BDP﹣∠ACP．

②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示．

同理可得：∠CPD=∠ACP﹣∠BDP．

综上：∠CPD=|∠ACP﹣∠BDP|．

【点评】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据平行线的性质找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”；（2）利用（1）结论套入数据之间计算；（3）分情况讨论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．