Question

如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O

（1）若∠A=α（0°＜α＜90°），求∠BOC；

（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由．

Answer

（1）2α；（2）是定值

【解析】

试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO=CO，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，根据周角定义即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB，于是得到∠OBC=90°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．

【解析】
（1）AB、AC边的中垂线交于点O，

∴AO=BO=CO，

∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，

∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），

∴∠AOB+∠AOC=（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）=360°﹣2（∠OAB+∠OAC）=360°﹣2∠A=360°﹣2α，

∴∠BOC=360°﹣（∠AOB+∠AOC）=2α；

（2）∠ABO+∠ACB为定值，

∵BO=CO，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，

∴∠OBC=（180°﹣2∠A）=90°﹣α，

∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠A=180°，

∴∠ABO+∠ACB=180°﹣α﹣（90°﹣α）=90°．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，周角的定义，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．