Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

Answer

（1）见解析（2）FH与FC仍然相等

【解析】

试题分析：（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠1=∠2=90°﹣∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH．∴CF=FH．

（2）通过证明△CEF≌△FGH（ASA）得出．

【解析】
（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC．

证明如下：延长DF交AB于点G，

由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，

∴DG∥CB，

∵点D为AC的中点，

∴点G为AB的中点，且，

∴DG为△ABC的中位线，

∴．

∵AC=BC，

∴DC=DG，

∴DC﹣DE=DG﹣DF，

即EC=FG．

∵∠EDF=90°，FH⊥FC，

∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，

∴∠1=∠2．

∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，

∴∠DEF=∠DGA=45°，

∴∠CEF=∠FGH=135°，

∴△CEF≌△FGH，

∴CF=FH．

（2）FH与FC仍然相等．

理由：由题意可得出：DF=DE，

∴∠DFE=∠DEF=45°，

∵AC=BC，

∴∠A=∠CBA=45°，

∵DF∥BC，

∴∠CBA=∠FGB=45°，

∴∠FGH=∠CEF=45°，

∵点D为AC的中点，DF∥BC，

∴DG=BC，DC=AC，

∴DG=DC，

∴EC=GF，

∵∠DFC=∠FCB，

∴∠GFH=∠FCE，

在△FCE和△HFG中

，

∴△FCE≌△HFG（ASA），

∴HF=FC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．