Question

如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结BC₁，若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x．

（1）若点O与点C₁重合，求证：A₁D₁为⊙O的切线；

（2）①当x=_______时，四边形ABC₁D₁是菱形；

②当x=_______时，△BDD₁为等边三角形．

Answer

（1）见解析；（2）①1；②2．

【解析】

试题分析：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1D1O=∠D=90°，∴A1D1⊥OD1，∴A1D1为⊙O的切线；

（2）①当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；理由：∵∠ACB=30°，∴∠CAB=60°，∵AB=1，∴AC=2，∵x=1，∴AC1=1，∴AB=AC1，∴△AC1B是等边三角形，∴AB=D1C1，又AB∥D1C1，∴四边形ABC1D1是菱形；

②如图所示：当x=2时，△BDD1为等边三角形，

则可得BD=DD1=BD1=2，即当x=2时，△BDD1为等边三角形．故答案为：1，2．

考点：①相似三角形的判定与性质；②矩形的性质；③等边三角形的判定；④解直角三角形．