Question

如图1，点P在正方形ABCD的对角线AC上，正方形的边长是a，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N．

（1）操作发现：如图2，固定点P，使△PEF绕点P旋转，当PM⊥BC时，四边形PMCN是正方形．填空：①当AP=2PC时，四边形PMCN的边长是_________；②当AP=nPC时（n是正实数），四边形PMCN的面积是__________．

（2）猜想论证

如图3，改变四边形ABCD的形状为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE、PF分别交BC、DC于点M、N，固定点P，使△PEF绕点P旋转，则=_______．

（3）拓展探究

如图4，当四边形ABCD满足条件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD时，点P在AC上，PE、PF分别交BC，CD于M、N点，固定P点，使△PEF绕点P旋转，请探究的值，并说明理由．

Answer

（1）①a；②；（2）；（3）见解析．

【解析】

试题分析：（1）①如图2，∵PM⊥BC，AB⊥B，∴△PMC∽△ABC，∴=，又∵AP=2PC，∴=，即=，∴PM=a，即正方形PMCN的边长是a；

②当AP=nPC时（n是正实数），=，∴PM=a，∴四边形PMCN的面积=（a）2=；

（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°，∵Rt△PEF中，∠FPE=90°，∴∠GPM=∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴=，由PG∥AB，PH∥AD可得，，

∵AB=a，BC=b，∴，即=，∴=；

（3）如图4，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，则∠HPG=∠DAB，∵∠EPF=∠BAD，∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM，∴∠HPN=∠GPM，∵∠B+∠D=180°，∴∠PGC+∠PHC=180°，又∵∠PHN+∠PHC=180°，∴∠PGC=∠PHN，∴△PGM∽△PHN，∴=①，由PG∥AB，PH∥AD可得， ==，即=②，∴由①②可得， =．

考点：①相似三角形的应用；②平行线分线段成比例定理．