Question

如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．

（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；

（2）填空：

①当DP=________cm时，四边形AOBD是菱形；

②当DP=__________cm时，四边形AOBP是正方形．

Answer

（1）见解析；（2）①1；②．

【解析】

试题分析：（1）连接OA，AC，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在Rt△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°，∴∠ACP=30°，∵∠APO=30°，∴∠ACP=∠APO，∴AC=AP，∴△ACP是等腰三角形．

（2）①DP=1，理由如下：∵四边形AOBD是菱形，∴OA=AD=OD，∴∠AOP=60°，∴OP=2OA，DP=OD．∴DP=1；

②DP=，理由如下：∵四边形AOBP是正方形，∴∠AOP=45°，∵OA=PA=1，OP=，∴DP=OP﹣1，∴DP=．

考点：①切线的性质；②圆周角的性质．