Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E是BC边上一个动点，连接AE，作DF⊥AE于点F，当BE的长为_____________________时，△CDF是等腰三角形．

Answer

2或2或4﹣2．

【解析】

试题分析：①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，则CM∥AE，DM=MF，延长CM交AD于点G，∴AG=GD=2，∴CE=2，∴当BE=2时，△CDF是等腰三角形；

②DF=DC时，则DF=DC=AB=2，∵DF⊥AE，AD=2，∴∠DAE=45°，则BE=2，∴当BE=2时，△CDF是等腰三角形；

③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．∵AB=2，BE=x，∴AE=，AF=，∵△ADF∽△EAB，∴，即，解得：x=4﹣2或x=4+2（舍去）；∴当BE=4﹣2时，△CDF是等腰三角形．综上，当BE=2或2或4﹣2 时，△CDF是等腰三角形．故答案为：2或2或4﹣2．

考点：①矩形的性质；②相似三角形的性质；③等腰三角形的判定．