Question

如图，抛物线y=x²+bx+c交y轴于点A（0，﹣8），交x轴正半轴于点B（4，0）．

（1）抛物线的函数关系式为___________________；

（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间移动，直尺两长边所在直线被线段AB和抛物线截得两线段MN（M在N上方）、PQ（P在Q上方），设M点的横坐标为m，（0＜m＜3）

①若连接MQ，求以M、P、Q为顶点的三角形和△AOB相似时，m的值；

②若连接NQ，请直接写出m为何值时，四边形MNQP的面积最大．

Answer

（1）y=x2﹣2x﹣8；（2）+1或+1；②．

【解析】

试题分析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c交y轴于点A（0，﹣8），∴c=﹣8．∵将B（4，0）代入y=x2+bx﹣8得：16+4b﹣8=0，解得：b=﹣2．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．故答案为：y=x2﹣2x﹣8；

（2）①如图1所示：连接MQ．

设AB的解析式为y=kx+b．将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=2，b=﹣8．∴直线AB的解析式为y=2x﹣8．∵PQ∥OA，∴∠MPQ=∠OAB．

当△AOB∽△PQM时．则∠AOB=∠PQM=90°．∴MQ∥OB．设点M的坐标为（m，2m﹣8），则点Q的坐标为（m+1，m2﹣9）．∵MQ∥OB，∴2m﹣8=m2﹣9，解得m=+1或m=﹣+1（舍去）．∴当m=+1时，△AOB∽△PQM．

当△PMQ∽△AOB时，如图1所示：过点M作MN⊥PQ．∵△PMQ∽△AOB，∴∠PMQ=∠AOB=90°，∠PQM=∠ABO．∴∠MQN=∠ABO．∵MN⊥PQ，∴∠MNQ=90°．∴∠MNQ=∠AOB．∴△MNQ∽△AOB．∴=．∵MN=1，∴NQ=．设点M的坐标为（m，2m﹣8），则点Q的坐标为（m，m2﹣9）．∴NQ=﹣m2+2m+1．∴﹣m2+2m+1=．解得：m=+1或m=﹣+1（舍去）．综上所述，m的值为+1或+1．

②设点M的坐标为（m，2m﹣8），则点N（m，m2﹣2m﹣8）、P（m+1，2m﹣6），Q（m，m2﹣9）．四边形MNQP的面积=×1×（MN+PQ）=（﹣2m2+6m+3）=﹣m2+3m+．当m==时，四边形MNQP的面积有最大值．

考点：二次函数综合题．