Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CD．连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③四边形CDFE不可能为正方形；④△CDE面积的最大值为8．其中错误的结论是___________．（只填序号）

Answer

③．

【解析】

试题分析：连结CF，如图，∵△ABC为直角三角形，∴∠A=45°，∵F是等腰直角△ABC斜边上的中点，∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，在△ADF和△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（SAS），∴DF=EF，∠3=∠2，∵∠3+∠CFD=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，∴△DEF为等腰直角三角形，所以①正确；

∵△ADF≌△CEF，∴S△ADF=S△CEF，∴四边形CDFE的面积=S△ACF=S△ABC=××8×8=16，所以②正确；当FD⊥AC时，FE⊥BC，则AD=CE=AC，此时四边形CDFE为正方形，所以③正确；

∵S△CDE=S四边形CDFE﹣S△DEF=16﹣S△DEF，而当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD=AC=4，∴S△DEF的最小值为×4×4=8，∴△CDE面积的最大值为16﹣8=8，所以④正确．故答案为③．

考点：四边形综合题．