Question

如图，一直线与反比例函数y=（k＞0）交于A、B两点，直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，过A、B两点分别向x轴、y轴作垂线，H、E、F、I为垂足，连接EF，延长AE、BF相交于点G．

（1）矩形OFBI与矩形OHAE的面积之和为________；（用含k的代数式表示）；

（2）说明线段AC与BD的数量关系；

（3）若直线AB的解析式为y=2x+2，且AB=2CD，求反比例函数的解析式．

Answer

（1）2k；（2）见解析；（3）y=．

【解析】

试题分析：（1）∵点A、B均在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴S矩形OFBI=S矩形OHAE=|k|=k，∴矩形OFBI与矩形OHAE的面积之和为2k．

（2）∵S矩形OFBI=S矩形OHAE=k，∴S矩形OEGF+S矩形OHAE=S矩形OFBI+S矩形OEGF，即S矩形AGFH=S矩形BIEG，∴GA•GF=GE•GB，即．∵∠EGF=∠AGB，∴△EGF∽△AGB．∴∠GAB=∠GEF，∴EF∥AB，∵CF∥AE，BF∥DE，∴四边形AEFC和四边形BDEF都是平行四边形．∴AC=EF，BD=EF，∴AC=BD．

（3）∵直线AB解析式为y=2x+2，∴C（﹣1，0），D（0，2），∴CD=，∵AB=2CD，∴AC+BD=CD，又∵AC=BD，∴BD=CD=，设B的坐标为（a，2a+2）．在直角三角形BDI中，BI=a，ID=2a+2﹣2=2a，∴a2+（2a）2=（）2，解得a1=，a2=﹣（舍去）．∴B（，3），将B的坐标代入反比例函数y=，得k=∴反比例函数的解析式为：y=．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．