Question

（1）问题发现：

如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边CD、AD上的动点，连接BE、CF交于点P，若始终保持CE=DF．

①线段BE和CF的关系是 BE=CF，且BE⊥CF，说明理由；

②当点E从点C运动到点D时，求点P运动的路径长；

（2）拓展探究：

如图2，在边长为6的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE=CF，当点E从点A运动到点C时，直接写出点P运动的路径长．

Answer

（1）①见解析；②π；（2）π．

【解析】

试题分析：（1）①BE=CF，BE⊥CF，

理由：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF，∴BE=CF，∠CBE=∠DCF，∵∠CBE+∠BEC=90°，∴∠DCF+∠BEC=90°，∴∠CPE=90°，∴BE⊥CF，即：BE=CF，且BE⊥CF；

②如图1，

由①知，BE⊥CF，∴在点E从点C到点D的过程中，始终有∠BPC=90°，∵BC=4，∴点P运动得路径是以BC为直径的圆弧上，∴点P的运动路径长为×2π×2=π；

（3）如图2，

点P在以O为圆心，OA为半径的圆弧上，当点E运动到AC中点时，点F也运动到BC的中点，此时点P经过的中点，此时△ABP为等腰三角形，∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，∵AB=6，∴OA=2，∴点P的路径为=π．

考点：四边形综合题．