Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）²+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx﹣3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=．

（1）求点C的坐标；

（2）求此抛物线的函数表达式，并在所给坐标系中画出该抛物线；

（3）在此抛物线上是否存在点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（0，﹣3）；（2）y=x2+2x﹣3，图象见解析；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（﹣3，0）．

【解析】

试题分析：（1）在y=kx﹣3中，当x=0时，y=﹣3，∴点C（0，﹣3），

（2）∵点C在y轴的负半轴，结合题意知，点B在x轴的右半轴，连接BC，在Rt△BOC中，∵cos∠BCO==，又∵cos∠BCO=，∴BC=，∴OB===1，∴B（1，0），∵点B（1，0）、C（0，﹣3）在抛物线y=a（x+1）2+c上，∴ 解得，∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3，抛物线如图1所示；

（3）如图2，存在，假设存在符合条件的点P，则可能有下面两种情况：

①若PN为另一条直角边，则点N为直角顶点，过点N作直线MN的垂线，交y轴于点D，交抛物线于点P，∵点M（﹣1，﹣4）在直线MC上，∴﹣4=﹣k﹣3，即k=1，∴直线MC的函数表达式为y=x﹣3，当y=0时得x=3，∴N（3，0），∵OC=ON=3，∴∠CNO=45°，∴∠DNO=90°﹣45°=45°，∴OD=ON=3，∴D（0，3），设直线ND的函数表达式为y=mx+n，由 解得，∴直线ND的函数表达式为y=﹣x+3，设P（x，﹣x+3），代入抛物线的解析式得：﹣x+3=x2+2x﹣3，∴x2+3x﹣6=0，∴x1=，x，，∴满足条件的点为P1（），P2（，）；

②若PC是另一直角边，则点C为直角顶点，过点C作直线CN的垂线，交抛物线于点P，∵点A是抛物线与x轴的另一交点，∴点A的坐标是（﹣3，0），连接AC，∵OA=OC，∴∠OCA=45°，又∠OCN=45°，∴∠ACN=90°，∴点A就是所求的点P，∴P3（﹣3，0），综上所述：在抛物线上存在满足条件的点有3个，分别是：P1（，），P2（，），P3（﹣3，0）．

考点：二次函数综合题．