Question

问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P．

独立思考：

（1）AE=             cm，△FDM的周长为           cm；

（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸：

如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：

①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论．

②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）．

Answer

（1）3，16；

（2）BF=EG；

拓展延伸：

①△FDM的周长不发生变化；②（2）中结论成立．

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形勾股定理即可得出结论，

（2）利用三角形相似对边比例关系计算出三角形各边长即可计算出结果，

①根据题意，利用三角形全等即可证明结论，②根据勾股定理得出AE，然后利用全等三角形得出AF、AK，即可得出结果．

试题解析：（1）设AE=x，则EF=8﹣x，AF=4，∠A=90°，42+x2=（8﹣x）2，x=3，

∴AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，

∵∠MFE=90°，

∴∠DFM+∠AFE=90°，

又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，

∴△AEF∽△DFM，

∴，

又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5，

∴，；

，

∴△FMD的周长=4+=16，

故答案为：3，16；

（2）EG⊥BF，EG=BF，

则∠EGH+∠GEB=90°，

由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称，

∴∠FBE=∠EGH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠C=∠ABC=90°，

四边形GHBC是矩形，

∴GH=BC=AB，

∴△AFB≌△HEG，

∴BF=EG；

①△FDM的周长不发生变化，

由折叠知∠EFM=∠ABC=90°，

∴∠DFM+∠AFE=90°，

∵四边形ABCD为正方形，∠A=∠D=90°，

∴∠DFM+∠DMF=90°，

∴∠AFE=∠DMF，

∴△AEF∽△DFM，

∴，

设AF为x，FD=8﹣x，

∴，

解得：，

∴，

∴FMD的周长=，

∴△FMD的周长不变，

②由折叠知∠FBE=∠EGH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠C=∠ABC=90°，

四边形GHBC是矩形，

∴GH=BC=AB，

∴△AFB≌△HEG，

∴BF=EG，

所以（2）中结论成立．

考点：四边形综合题