Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．

（1）求证：BF与⊙O相切；

（2）若BF=10，cos∠ABC=，求⊙O的半径．

Answer

（1）见解析；

（2）⊙O半径为12．

【解析】

试题分析：（1）先证明△BEF是等腰三角形，再证明∠FBA+∠DBA=90°即可．

（2）在Rt△BDF中，cosD==，设BD=12x，DF=13x，利用勾股定理列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）连接BD，

∵AD⊥AB，

∴∠BAD=90°，

∴BD是直径，BD过圆心，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠D=∠C，

∴∠ABC=∠D

又∵AD⊥AB，且AF=AE

∴△BEF是等腰三角形，

∴∠ABC=∠ABF，

∴∠D=∠ABF，

又∵∠BAD=90°，

∴∠ABD+∠D=180°﹣∠BAD=180°﹣90°=90°，

∴∠ABD+∠ABF=90°，

∴∠DBF=90°，

∴OB⊥BF，

又∵OB是⊙O的半径，

∴BF是⊙OA切线；

（2）∵∠ABC=∠D，

∴cosD=cos∠ABC=，

在Rt△BDF中，cosD==，设BD=12x，DF=13x，

又∵BD2+DF2=DF2，

∴（12x）2+102=（13x）2

∵x＞0，

∴x=2，

∴BD=12×2=24，

∴OB=BD=12

∴⊙O半径为12．

考点：切线的判定；三角形的外接圆与外心．