Question

菱形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，点E和点F分别是BC和CD上一动点，且∠EOF+∠BCD=180°，连接EF．

（1）如图2，当∠ABC=60°时，猜想三条线段CE、CF、AB之间的数量关系     ；

（2）如图1，当∠ABC=90°时，若AC=4，BE=，求线段EF的长；

（3）如图3，当∠ABC=90°，将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O′处，∠EO′F绕点O′旋转，仍满足∠EO′F+∠BCD=180°，O′E交BC的延长线一点E，射线O′F交CD的延长线上一点F，连接EF探究在整个运动变化过程中，线段CE、CF，O′C之间满足的数量关系，请直接写出你的结论．

Answer

（1）CE+CF=AB；

（2）线段EF的长为；

（3）CF﹣CE=OC

【解析】

试题分析：（1）如图1中，连接EF，在CO上截取CN=CF，只要证明△OFN≌△EFC，即可推出CE+CF=OC，再证明OC=AB即可．

（2）在Rt△CEF中，根据CE2+CF2=EF2即可解决问题．

（3）结论：CF﹣CE=OC，过点O作OH⊥AC交CF于H，只要证明△FOH≌△EOC，推出FH=CE，再根据等腰直角三角形性质即可解决问题．

试题解析：（1）结论CE+CF=AB．

理由：如图1中，连接EF，在CO上截取CN=CF．

∵∠EOF+∠ECF=180°，

∴O、E、C、F四点共圆，

∵∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，

∴∠BCD=180°﹣∠ABC=120°，

∴∠ACB=∠ACD=60°，

∴∠OEF=∠OCF，∠OFE=∠OCE，

∴∠OEF=∠OFE=60°，

∴△OEF是等边三角形，

∴OF=FE，

∵CN=CF，∠FCN=60°，

∴△CFN是等边三角形，

∴FN=FC，∠OFE=∠CFN，

∴∠OFN=∠EFC，

在△OFN和△EFC中，

OF=FE，∠OFE=∠CFN，FN=FC，

∴△OFN≌△EFC，

∴ON=EC，

∴CE+CF=CN+ON=OC，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠CBO=30°，AC⊥BD，

在RT△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，

∴OC=BC=AB，

∴CE+CF=AB．

（2）连接EF

∵在菱形ABCD中，∠ABC=90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，OB=OC，AB=AC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BCD=90°

∵∠EOF+∠BCD=180°，

∴∠EOF=90°，

∴∠BOE=∠COF

∴△OBE≌△OCF，

∴BE=CF，

∵BE=，

∴CF=，

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，AC=4

∴BC=4，

∴CE=，

在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，

∴EF=

答：线段EF的长为，

（3）结论：CF﹣CE=OC．

理由：过点O作OH⊥AC交CF于H，

∵∠OCH=∠OHC=45°，

∴OH=OC，

∵∠FOE=∠HOC，

∴∠FOH=∠COE，

∵∠EOF=∠ECF=90°，

∴O、C、F、E四点共圆，

∴∠OEF=∠OCF=45°，

∴∠OFE=∠OEF=45°，

∴OE=OF，

在△FOH和△EOC中，

OE=OF，∠FOH=∠COE，OH=OC，

∴△FOH≌△EOC，

∴FH=CE，

∴CF﹣CE=CF﹣FH=CH=OC．

考点：四边形综合题；四点共圆．