Question

如图，已知直线y=kx+6与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer

（1）y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3

（2）存在．P（，）．

（3）Q点坐标为（0，）或（0，-）或（0，1）或（0，3）．

【解析】

试题分析：（1）由待定系数法确定函数解析式；

（2）先确定出点C坐标，再由△POB≌△POC建立方程，求解即可，

（3）分三种情况计算，分别判断△DAQ1∽△DOB，△BOQ2∽△DOB，△BOQ3∽△Q3EA，列出比例式建立方程求解即可．

试题解析：（1）把A（1，4）代入y=kx+6，

∴k=﹣2，

∴y=﹣2x+6，

由y=﹣2x+6=0，得x=3

∴B（3，0）．

∵A为顶点

∴设抛物线的解析为y=a（x﹣1）2+4，

∴a=﹣1，

∴y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3

（2）存在．

当x=0时y=﹣x2+2x+3=3，

∴C（0，3）

∵OB=OC=3，OP=OP，

∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，

作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，

∴∠POM=∠PON=45°．

∴PM=PN

∴设P（m，m），则m=﹣m2+2m+3，

∴m=，

∵点P在第三象限，

∴P（，）．

（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，作AE⊥y轴于E，

∴E（0，4）

∵∠DA Q1=∠DOB=90°，∠AD Q1=∠BDO

∴△DAQ1∽△DOB，

∴，

∴DQ1=，

∴OQ1=，

∴Q1（0,）；

②如图，

当∠Q2BA=90°时，∠DBO+∠OBQ2=∠OBQ2+∠O Q2B=90°

∴∠DBO=∠O Q2B

∵∠DOB=∠B O Q2=90°

∴△BOQ2∽△DOB，

∴，

∴，

∴OQ2=，

∴Q2（0，-）；

③如图，当∠AQ3B=90°时，∠AEQ3=∠BOQ3=90°，

∴∠AQ3E+∠E AQ3=∠AQ3E+∠B Q3O=90°

∴∠E AQ3=∠B Q3O

∴△BOQ3∽△Q3EA，

∴，，

∴OQ32﹣4OQ3+3=0，

∴OQ3=1或3，

∴Q3（0，1）或（0，3）．

综上，Q点坐标为（0，）或（0，-）或（0，1）或（0，3）．

考点：二次函数综合题．