Question

已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AE=1，求⊙O的直径．

Answer

（1）见解析；

（2）OB =2

【解析】

试题分析：（1）连接OD，由等边三角形的性质得出AB=BC，∠B=∠C=60°，证出△OBD是等边三角形，得出∠BOD=∠C，证出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出结论；

（2）连接CD，根据圆周角定理和等边三角形的性质得出BD=AD=OB，然后解直角三角形即可求得．

试题解析：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：

连接OD，如图1所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD=60°，

∴∠BOD=∠C，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接CD，

∵BC为直径，

∴CD⊥AB，

∴BD=AD=OB，

在直角△ADE中，

∠A=60°，

∴AD=2AE=2，

∴OB=AD=2．

考点：切线的判定．