Question

已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．

（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=BC；

（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；

（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．

Answer

（1）见解析；

（2）EF⊥BC仍然成立；

（3）EF=BC

【解析】

试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；

（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；

（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可．

试题解析：（1）连接AH，如图1，

∵四边形OBFC是平行四边形，

∴BH=HC=BC，OH=HF，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，AH⊥BC，

在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，

∴AH==BC，

∵OA=AE，OH=HF，

∴AH是△OEF的中位线，

∴AH=EF，AH∥EF，

∴EF⊥BC，BC=EF，

∴EF⊥BC，EF=BC；

（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，

∵四边形OBFC是平行四边形，

∴BH=HC=BC，OH=HF，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，AH⊥BC，

在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，

∴AH=BH=BC，

∵OA=AE，OH=HF，

∴AH是△OEF的中位线，

∴AH=EF，AH∥EF，

∴EF⊥BC，BC=EF，

∴EF⊥BC，EF=BC；

（3）如图3，

∵四边形OBFC是平行四边形，

∴BH=HC=BC，OH=HF，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=kBC，AH⊥BC，

在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC）2=（k2-）BC2，

∴AH=BH=BC，

∵OA=AE，OH=HF，

∴AH是△OEF的中位线，

∴AH=EF，AH∥EF，

∴EF⊥BC，BC=EF，

∴EF=BC．

考点：四边形综合题．