Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴相交于A、B两点，与y轴的正半轴相交于点C，对称轴l与x轴的正半轴相交于点D，与抛物线相交于点F，点C关于直线l的对称点为E．

（1）当a=﹣2，b=4，c=2时，判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

（2）若四边形CDEF是正方形，且AB=，求抛物线的解析式．

Answer

（1）四边形CDEF是菱形．

（2）解析式为y=-2x2+2x-．

【解析】

试题分析：（1）根据a、b、c的值，可确定抛物线的解析式，进而可求出C、F、E点的坐标，连接CE，交DF于P，即可得到CP、DP、EP、FP的长，由此可证得CE、DF互相平分，由此可判定四边形CDEF是平行四边形；知道了CP、DP的长，即可用勾股定理求出CD的长，同理可求出CF的长，易证得CD=CF，由此可判定四边形CDEF是菱形；（也可根据直线l是C、E的对称轴，得到CF=EF，由此可判定平行四边形CDEF是菱形）

（2）若四边形CDEF是正方形，则OC=DP=CP=EP=PF=c，可据此表示出F点的坐标，即可用顶点式表示出该二次函数的解析式，将其化为一般式后，可得到两个表示C点纵坐标的式子，联立两式可求出a、c的关系式，由此可用a表示出该二次函数的表达式，进而可用a表示出A、B的坐标，然后根据AB的长即可求出a的值，从而确定二次函数的解析式．

试题解析：（1）结论：四边形CDEF是菱形．

∵直线l是抛物线的对称轴，点C、E关于l对称，

∴F2为抛物线的顶点，点E在抛物线上，

∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x2﹣2x﹣1）=﹣2（x﹣1）2+4，

∴四边形CDEF各顶点坐标分别为C（0，2），D（1，0），F（1，4），E（2，2），

连接CE交直线于l于点P，则P点坐标为（1，2），

∴CP=PE=1，DP=PF=2，

∴四边形CDEF是平行四边形，

在Rt△COD中，CD=，

在Rt△CPF中，CF=，

∴CD=CF，

∴四边形CDEF是菱形；

（2）（方法一）∵四边形CDEF是正方形，

∴CP=DP=EP=FP=OC=c，

∴点F的坐标为（c，2c），

∴抛物线为y=a（x﹣c）2+2c=ax2﹣2acx+ac2+2c，

∴ac2+2c=c，

∴ac=﹣1（∵c＞0），

即c=-，

∴y=ax2+2x-；

（方法二）设抛物线的顶点F坐标为（h，k），

则y=a（x﹣h）2+k=ax2﹣2ahx+ah2+k，

∴c=ah2+k，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CP=DP=EP=FP=OC，

∴，

解得，

∴y=ax2+2x-，

令ax2+2x-=0，

得x=，

由AB=，a＜0，

得=，

∴a=﹣2，

经检验，a=﹣2是原分式方程的解，

∴所求解析式为y=-2x2+2x-．

考点：二次函数综合题．