Question

如图，过点A（﹣1，0）、B（3，0）的抛物线y=﹣x²+bx+c与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E．

（1）求抛物线解析式；

（2）求抛物线顶点D的坐标；

（3）若抛物线的对称轴上存在点P使S_△PCB=3S_△POC，求此时DP的长．

Answer

（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）顶点D的坐标为（1，4）；

（3）DP的长为1或5．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可求得解析式；

（2）把抛物线解析式化成顶点式，即可得出顶点坐标；

（3）求出△POC的面积，由三角形的面积关系得出PF=3，求出直线BC的解析式，得出F的坐标，再分两种情况讨论，即可得出DP的长．

试题解析：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=2，c=3，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；

（3）设BC与抛物线的对称轴交于点F，如图所示：

则点F的横坐标为1，

∵y=﹣x2+2x+3，

当x=0时，y=3，∴OC=3，∴△POC的面积=×3×1=，

∵△PCB的面积=△PCF的面积+△PBF的面积=PF（1+2）=3×，解得：PF=3，

设直线BC的解析式为y=kx+a，则，解得：a=3，k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

当x=1时，y=2，

∴F的坐标为（1，2），∴EF=2，

当点P在F的上方时，PE=PF+EF=5，∴DP=5﹣4=1；

当点P在F的下方时，PE=PF﹣EF=3﹣2=1，∴DP=4+1=5；

综上所述：DP的长为1或5．

考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．