Question

如图，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点B、点C在第一象限，sin∠OAD=，线段AD、AB的长分别是方程x²﹣11x+24=0的两根（AD＞AB）．

（1）求点B的坐标；

（2）求直线AB的解析式；

（3）在直线AB上是否存在点M，使以点C、点B、点M为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）B点的坐标为（4+，）．

（2）直线AB的解析式为y=x﹣

（3）M3（﹣8+，﹣4），M4（，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）首先求出AD、AB，根据sin∠OAD=推出∠DAO=60°，作BE⊥x轴于点E，在RT△ABE中，即可解决问题．

（2）利用待定系数法设直线AB为y=kx+b，把A、B坐标代入即可解决问题．

（3）分四种情形，利用相似三角形的性质求出AM的长，即可求出点M坐标．

试题解析：（1）作BE⊥x轴于点E，

解方程x2﹣11x+24=0得x1=3，x2=8．

∵AD＞AB∴AD=8，AB=3，

∵sin∠OAD=，∴∠OAD=60°，∴∠BAE=30°，OA=AD×cos60°=4，

∴AE=AB×cos30°=3×=，BE=AB×sin30°=，

∴B点的坐标为（4+，）．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）．

则，解得

∴直线AB的解析式为y=x﹣

（3）存在，如图，①当△BCM1∽△ODA时，，

∴，∴BM1=，∴AM1=3+

作M1H⊥OA于H，

∵∠M1AH=30°，∴HM1=+，AH=+4，OH=8+，∴点M1（8+， +），

②当△CBM2∽△AOD时，，∴BM2=8，∴AM2=3+8，∴M2坐标为（16+，+4），

根据对称性得到M3（﹣8+，﹣4），M4（，﹣）．

考点：相似形综合题．