Question

如图，AB是半圆O的直径，AB=a，C是半圆上一点，弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．

（1）求证：△CDF≌△BDE；

（2）当AD=__________时，四边形AODC是菱形；

（3）当AD=__________时，四边形AEDF是正方形．

Answer

（1）见解析；（2）；（3） a．

【解析】

试题分析：（1）证明：∵弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF．∵弦AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠BAD，∴BD=CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）；

（2）四边形AODC是菱形时，OD=CD=DB=OB，∴∠DBA=60°，∴AD=ABcos∠DBA=asin60°=a，故答案为：；

（3）当OD⊥AB，即OD与OE重合时，四边形AEDF是正方形，由勾股定理，得AD==a，故答案为： a．

考点：①正方形的判定；②全等三角形的判定与性质；③菱形的判定；④圆周角定理．