Question

张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．

小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下题：

【结论运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．

Answer

见解析．

【解析】

试题分析：证明：（方法1）连接AP，如图②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴AB•CF=AB•PD+AC•PE，∵AB=AC，∴CF=PD+PE；

（方法2）过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②，∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°，∴四边形PDFG是矩形，∴DP=FG，∠DPG=90°，∴∠CGP=90°，∵PE⊥AC，∴∠CEP=90°，∴∠PGC=∠CEP，∵∠BDP=∠DPG=90°，∴PG∥AB，∴∠GPC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠GPC=∠ECP，在△PGC和△CEP中，，∴△PGC≌△CEP，∴CG=PE，∴CF=CG+FG=PE+PD；

【变式探究】证明：连接AP，如图③，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ABP﹣S△ACP，∴AB•CF=AB•PD﹣AC•PE，∵AB=AC，∴CF=PD﹣PE；

【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°，∵AD=8，CF=3，∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5，由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF，∴DF=5，∵∠C=90°，∴DC==4，∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC，∴四边形EQCD是矩形，∴EQ=DC=4，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB，∴BE=BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ，∴PG+PH=4，∴PG+PH的值为4．

考点：几何变换综合题．