在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按...

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．

（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．

（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．

①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；

②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．

（1）见解析；（2）①△AOC′∽△BOD′；理由见解析；②AC′=kBD′，∠AMB=α，理由见解析．【解析】试题分析：（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OC=OB=OD，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB=OD′=OA=OC′，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′，∴在△BOD′和△AOC′中，，∴△BOD′≌△AOC′；（2）【解析】 ①△AOC′∽△BOD′；理由如下：∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OC′=OA，OD′=OB，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′，∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，∵AC=kBD，∴AC′=kBD′，∴△BOD′∽△AOC′； ②AC′=kBD′，∠AMB=α；设BD′与OA相交于点N，∴∠BNO=∠ANM，∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM=180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α．考点：四边形综合题．

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考点分析：

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