Question

在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．

（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是____________，位置关系是____________；

（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；

（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．

Answer

（1）AG=EG，AG⊥EG；（2）见解析；（3）2．

【解析】

试题分析：（1）如图1，由平移得，EF=AD，∵BD是正方形的对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，∵CF⊥BD，∴∠DGF=90°，∴∠GFD+∠CBD=90°，∴∠DFG=45°，∴GD=GF，在△AGD和△EGF中，，∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，∴AG⊥EG．故答案为AG=EG，AG⊥EG．

（2）（1）中的结论仍然成立，

证明：如图2,由平移得，EF=AD，∵BD是正方形的对角线，∴∠ADB=∠CDB=45°，∵CF⊥BD，∴∠DGF=90°，∴∠GFD+∠CBD=90°，∴∠DFG=45°，∴GD=GF，在△AGD和△EGF中，，∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，∴AG⊥EG．

（3）由（1）有，AG=CG，AG⊥EG，∴∠GEA=45°，∵∠AGF=120°，∴∠AGB=∠CGB，=30°，∴∠FGE=∠CGB=∠CGE=30°，∴∠CEG=75°，∴∠AED=30°，在Rt△ADE中，AD=2，∴DE=2．

考点：四边形综合题．