Question

如图，∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4，点P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），点O是△BPQ的外心．

（1）如图1，当OB⊥AM时，点O________∠MAN的平分线上（填“在”或“不在”）；

（2）求证：当点P在射线AN上运动时，总有点O在∠MAN的平分线；

（3）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=m，用m表示AC·AO；

（4）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

Answer

（1）在；（2）见解析；（3）4m；（4）OA=2或OA=或AO=0．

【解析】

试题分析：（1）在．理由：如图1所示：连接OP．

∵点O为等边△BQP的外心，∴∠BOP=2∠BQP=120°，OB=OP．∵OB⊥AM，∴∠ABO=90°．

∵∠A+∠ABO+∠BOP+∠OPA=180°，∴∠OPA=90°．∴OP⊥AN．∵OP=OB，OP⊥AN，OB⊥AM，∴点O在∠MAN的平分线上．

（2）当点A与点P不重合时，如图2所示：连接OB、OP、OA．

∵点O是等边三角形BOQ的外心，∴∠BOP=120°，OP=OB．∵∠BAP=60°，∴∠BAP+∠BOP=180°．∴点A、B、O、P共圆．又∵OB=OP，∴∠BAO=∠PAO．∴点O在MAN的角平分线上．当点P与点A重合时．∵点O是等边三角形BOQ的外心，∴PO平分∠BPQ．∵∠BPQ与∠MAN重合，∴∠PO平分∠MAN．综上所示，总有点O在∠MAN的平分线．

（3）如图3所示：连接OB、OP、AO．

∵由（2）可知点B、O、P、A共圆，∴∠BOA=∠BPA．∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠PAO．

∴△ABO∽△ACP．∴．∴AC·AO=AB·PA．∴AC·AO=4m．

（4）如图4所示：当点P与点D重合时．

∵∠BAP=60°，BA=4，AD=2，∴BP⊥AP．∴∠BPA=90°．又∵∠PAC=∠MAN=30°，∴∠OCB=∠ACP=60°．

∵O为等边三角形的外心，∴∠OBC=30°．∴∠BOC=90°．在Rt△AOB中，OA=AB=2．

如图5所示：当点A与点P重合时．

∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，∴BD⊥AQ．∴∠BDA=90°．∵在Rt△AOD中，∠DAO=30°，AD=2，∴AO=AD÷=2×=．

如图6所示：

∵∠BAD=60°，BA=4，AD=2，∴BD⊥AN．∴∠BDA=90°．∴∠ABD=30°∵O为△BPQ的外心，∴∠OBD=30°．∴点A与点O重合．∴OA=0．综上所述，OA=2或OA=或AO=0．

考点：①相似三角形的性质和判定；②四点共圆；③角平分线的判定定理；④三角形的外心的性质；⑤圆周角定．