Question

如图（1），E为正方形ABCD的边AD上一点．AE：ED=1：，过E作EP⊥BD于P．连接AP、CP．BE与AP交于G．

（1）证明：AP=CP；

（2）求∠ABE的度数；

（3）如图（2），点F在AD的延长线上，且PA=PF，PF交CD于H，连接CF，请写出线段AP与线段CF的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）AP=CP；

（2）∠ABE=22.5°

（3）CF=AP

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质，判定△ADP≌△CDP，进而得到AP=CP；

（2）先根据△DEP是等腰直角三角形以及AE：ED=1：，得到AE=PE，再判定Rt△ABE≌Rt△PBE，最后求得∠ABE的度数；

（3）先根据等腰三角形的性质求得∠APC和∠APF的度数，进而计算出∠CPF为直角，得到△CPF为等腰直角三角形，根据其边角关系以及PA=PF=PC，得到线段AP与线段CF的数量关系．

试题解析：（1）∵正方形ABCD中，AD=CD=45°

∴在△ADP和△CDP中

∴△ADP≌△CDP（SAS）

∴AP=CP；

（2）∵EP⊥BD，∠EDP=45°

∴△DEP是等腰直角三角形

∴PE：ED=1：

又∵AE：ED=1：

∴AE=PE

在Rt△ABE和Rt△PBE中

∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL）

∴∠ABE=∠PBE=∠ABD=22.5°

（3）线段AP与线段CF的数量关系为：CF=AP

由Rt△ABE≌Rt△PBE可得，AB=PB

∵∠ABP=45°

∴∠APB=67.5°=∠CPB，即∠APC=135°

∵AE=PE，∠PED=45°

∴∠PAE=22.5°

又∵PA=PF

∴∠APF=180°﹣2×22.5°=135°

∴∠CPF=360°﹣135°﹣135°=90°

又∵PA=PF=PC

∴△PCF是等腰直角三角形

∴CP：CF=1：

∴AP：CF=1：

即CF=AP

考点：正方形的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形