Question

对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．则∠C=  度，∠D=  度．

（2）在探究“等对角四边形”性质时：

①小红画了一个“等对角四边形ABCD”（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；

②在①的条件下，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=4，∠BCD=60°，求等对角四边形ABCD的面积．

Answer

（1）130，80；（2）①CB=CD；②16．

【解析】

试题分析：（1）根据四边形ABCD是“等对角四边形”得出∠D=∠B=80°，根据多边形内角和定理求出∠C即可；

（2）①连接BD，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB，求出∠CBD=∠CDB，根据等腰三角形的判定得出即可；

②连接AC，求出△ABC≌△ADC，求出∠ACB=∠ACD=30°，解直角三角形求出AC和BC，根据三角形的面积公式求出即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，

∴∠D=∠B=80°，

∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°，

故答案为：130，80；

（2）①证明：如图1，连接BD，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．

∴∠CBD=∠CDB，

∴CB=CD；

②【解析】
如图1，连接AC，

∵在△ABC和△ADC中

，

∴△ABC≌△ADC

∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=×60°=30°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=AD=4，

∴AC=2AB=8，

∴BC==4，

∴S四边形ABCD=2S△ABC=2××4×4=16．

考点：四边形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理