Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点P在⊙O外，连接PA交⊙O于点F，连接PC并延长交⊙O于点D，交AB于点E，连接FC、FB，若AC²=AF•AP，AC=4 ，CD=8，求⊙O的半径．

Answer

⊙O的半径为5．

【解析】

试题分析：根据已知条件得到△ACF∽△ACP，得到∠P=∠ACF，等量代换得到∠P=∠ABF，由AB是⊙O的直径，得到∠AFB=90°，推出AB⊥CD，根据垂径定理得到CE=DE=CD=8，根据勾股定理得到AE=8，连接OC，根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：∵AC2=AF•AP，

∴，

∵∠FAC=∠CAP，

∴△ACF∽△ACP，

∴∠P=∠ACF，

∵∠ACF=∠ABF，

∴∠P=∠ABF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴∠ABF+∠BAF=90°，

∴∠P+∠PAB=90°，

∴∠AEC=90°，

∴AB⊥CD，

∴CE=DE=CD=4，

∴AE==8，

连接OC，

∴OE=AE﹣OC=8﹣OC，

∵OC2=OE2+CE2，即OC2=（8﹣OC）2+42，

∴OC=5，

∴⊙O的半径为5．

考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理