Question

过点A（1，2）的直线与双曲线在第一象限内交于点P，直线AO交双曲线的另一分支于点B，且点C（2，1）．

（1）如图，当点P与C重合时，PA、PB分别交y轴于点E、F．求证：CE=CF；

（2）当点P异于A、C时，探究∠PAC与∠PBC的数量关系，请直接写出结论不必证明．

Answer

（1）CE=CF；（2）∠PAC=∠PBC．

【解析】

试题分析：（1）由点A（1，2），点C（2，1），直接利用待定系数法，即可求得直线AC的解析式，继而求得点E的坐标，然后由过点A（1，2）的直线与双曲线在第一象限内交于点P，求得直线BC的解析式，继而求得答案；

（2）首先设P（m，），且m≠1，2，即可求得直线AP与直线BP的解析式，然后由过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为R，S，设直线AP与x轴的交点为M，直线 BP与x轴的交点为N，即可证得△ARM≌△BSN，继而证得结论．

试题解析：（1）证明：设直线AC的解析式为：y=kx+b，

∵点A（1，2），点C（2，1），

∴，

解得，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，

∴点E的坐标为：（0，3）；

直线BC的解析式为：y=mx+n，

∵过点A（1，2）的直线与双曲线y=在第一象限内交于点P，

∴点B的坐标为：（﹣1，﹣2），

∴，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=x﹣1，

∴点F的坐标为：（0，﹣1）；

∴，，

∴CE=CF；

（2）【解析】
∵P在双曲线上，且不同于A，C两点，

设P（m，），且m≠1，2，

∴直线AP可表示为：，

直线BP可表示为：，

过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为R，S，

则R（1，0），S（﹣1，0），

设直线AP与x轴的交点为M，直线 BP与x轴的交点为N，

则M（m+1，0），N（m﹣1，0），

∴MR=m，NS=m，

∴MR=NS=m，

在△ARM和△BSN中，

，

∴△ARM≌△BSN（SAS），

∴∠AMR=∠BNS，

∵∠PAC+∠AMR=45°，∠PBC+∠BNS=45°，

∴∠PAC=∠PBC．

考点：反比例函数综合题