Question

正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．

（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；

（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值．

Answer

（1）x=﹣1；

（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1），

当x=时，S的值最大，最大值为，．

【解析】

试题分析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=解方程，即可得到结果；

（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到∠ECB=∠PEG，根据全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=（1﹣x）•x，根据二次函数的性质即可得到结论．

试题解析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，

∵OA=OC，

∴CM=ME，

∴AE=2OM=2OF，

∴OM=OF，

∴，

∴BF=BE=x，

∴OF=OM=，

∵AB=1，

∴OB=，

∴，

∴x=﹣1；

（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，

∵∠CEP=∠EBC=90°，

∴∠ECB=∠PEG，

∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°，

在△EPG与△CEB中，

，

∴△EPG≌△CEB，

∴EB=PG=x，

∴AE=1﹣x，

∴S=（1﹣x）•x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1），

∵﹣＜0，

∴当x=时，S的值最大，最大值为，．

考点：四边形综合题