Question

如图，抛物线y=﹣（x﹣2）²+4交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），其顶点为C，将抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，点B、C平移后的对应点为D、E，且两抛物线在x轴的上方交于点P，连接PA、PD．

（1）判断△PAD能否为直角三角形？若能，求m的值；若不能，说明理由；

（2）若点F在射线CE上，当以A、C、F为顶点的三角形与△PAD相似时，求m的值．

Answer

（1）△PAD不能成为直角三角形；

（2）m=3．

【解析】

试题分析：（1）不存在，不妨设△PAD是直角三角形，过点P作PQ⊥AD于Q，可以推出AD=2PQ，列出方程，推出矛盾即可解决问题．

（2）首先判断只存在△CAF∽△PAD这种情形，如图2中，过点C作CM⊥x轴于点M，点A作AN⊥CF于点N，过点A作AG⊥PD于点G，先求出点F坐标，设PG=3x，则AG=4x，列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）令x=0，则﹣（x﹣2）2+4=0，

解得x=﹣1或5，

∴A（﹣1，0），B（5，0），C（2，4），

如图1中，过点P作PQ⊥AD于Q，根据对称性可知PA=PD，

∴△PAD是等腰三角形，

设D（5﹣m，0），则Q（，0），

∴P（，﹣m2+4），

若△PAD是直角三角形，则△PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，

∴AD=2PQ，

∴（5﹣m）+1=2（﹣m2+4），

整理得2m2﹣9m﹣18=0，

解得m=6或m=，

∵m＞0，

∴m=6，

当m=6时，P（﹣1，0）与点A重合，故舍弃．

∴△PAD不能成为直角三角形．

（2）由（1）可知，△PAD是等腰三角形，连接AC，则∠CAD＜∠PAD=∠PDA，

∵CE∥AD，

∴∠FCA=∠CAD＜∠PAD=∠PDA，

∴以A、C、F为顶点的三角形与△PAD相似，只存在△CAF∽△PAD这种情形，

∴=1，

∴CA=CF，

如图2中，过点C作CM⊥x轴于点M，则点M（2，0），

∴AC==5，

∴CF=5，

∴F（﹣3，4），

过点A作AN⊥CF于点N，则点N（﹣1，0）．

过点A作AG⊥PD于点G，则∠APG=∠ACN，

∴tan∠APG=tan∠ACN=，

设PG=3x，则AG=4x，

∴AP==5x，

∴DG=5x﹣3x=2x，

∴AD==2x，

∵•AD•PQ=•PD•AG，

∴PQ=2x=AD，

∴﹣m2+4=5﹣m+1，

整理得m2﹣9m+18=0，

解得m=3或m=6．

当m=6时，P（﹣1，0）与点A重合，故舍弃，

∴m=3．

考点：二次函数综合题