Question

如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AB于点E．

（1）求证：∠E=∠C；

（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求OE的长．

Answer

（1）∠E=∠C；

（2）

【解析】

试题分析：（1）连接OB．先证明∠ABO、∠CBD均为直角，然后依据同角的余角相等证明∠ABD=∠CBO，接下来，结合等腰三角形的性质和平行线的性质进行证明即可；

（2）连接OB，先求得AB的长，然后由平行线分线段成比例定理求得BE的长，最后再△BOE中依据勾股定理可求得OE的长．

试题解析：（1）证明：如图1：连接OB．

∵CD为圆O的直径，

∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°．

∵AE是圆O的切线，

∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°．

∴∠ABD=∠CBO．

∵OB=OC，

∴∠C=∠CBO．

∴∠C=∠ABD．

∵OE∥BD，

∴∠E=∠ABD．

∴∠E=∠C．

（2）如图2所示：连接OB．

∵圆O的半径为3，AD=2，

∴OA=5，OB=3．

∴AB==4．

∵BD∥OE，

∴，即．

解得：BE=6．

∵∠OBE=90°，

∴OE=．

考点：切线的性质、圆周角定理的应用、等腰三角形的性质、平行线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理