Question

（1）如图1所示，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请填空： =  （直接写出答案）；

（2）如图2所示，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO₁C₁，连接AO₁，DC₁，请你猜想线段AO₁与DC₁之间的数量关系，并证明之；

（3）如图3所示，矩形ABCD和Rt△BEF有公共顶点B，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，则的值是否为定值？若是定值，请求出该值；若不是定值，请简述理由．

Answer

（1）；（2）

（3）

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质计算即可；

（2）根据旋转变换的性质得到∠ABO=∠O1B，C1，根据正方形的性质得到，证明△ABO1∽△DBC1，根据相似三角形的性质解答；

（3）根据正弦的定义和矩形的性质证明△AEB∽△DFB，根据相似三角形的性质计算即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，△AOD是等腰直角三角形，

∴，

∴，

故答案为：；

（2）∵△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO1C1，

∴∠ABO=∠O1B，C1，

∴∠ABO1=∠DBC1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，又，

∴，又∠ABO1=∠DBC1，

∴△ABO1∽△DBC1，

∴；

（3）在Rt△EBF中，∠EBF=30°，

∴=，

在Rt△ABD中，∠ABD=30°，

∴，

∴，

∵∠EBF=∠ABD，

∴∠EBA=∠FBD，

∴△AEB∽△DFB，

∴．

考点：正方形的性质、矩形的性质、旋转变换、相似三角形