Question

经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？

（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．

Answer

（1）大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度48千米/小时；

（2）应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；

（3）当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．

【解析】

试题分析：（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；

（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴当20≤x≤220时，v=﹣x+88，

当x=100时，v=﹣×100+88=48（千米/小时）；

（2）由题意，得

，

解得：70＜x＜120．

∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，

当0≤x≤20时

y=80x，

∴k=80＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴x=20时，y最大=1600；

当20≤x≤220时

y=（﹣x+88）x=﹣（x﹣110）2+4840，

∴当x=110时，y最大=4840．

∵4840＞1600，

∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．

考点：一次函数的解析式的运用、一元一次不等式组的运用、二次函数的性质