Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上．

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）连接AC、BC，设点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作PM∥BC交射线AC于点M，连接CP，请探究是否存在使S_△CPM=2的P点？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请简述理由．

Answer

（1）y=，A（﹣1，0）；

（2）P点坐标为（1，0），（1+2，0）．

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法确定抛物线解析式；

（2）先利用勾股定理求出AC，再判断出△AOC∽△AHP，表示出PH，再分点P在点B左侧和右侧两种情况讨论．

试题解析：（1）∵抛物线y=﹣经过B（3，0）．C（0，4），

∴，

∴，

∴y=，

设y=0，

∴=0，

∴x1=3，x2=﹣1，

∵点A在x轴上，

∴A（﹣1，0）；

（2）存在；如图

∵在Rt△AOC中，OA=1，OC=4，

∴AC=，

过点P作PH⊥AC，

∵P在x轴正半轴上，

∴设P（t，0），

∵A（﹣1，0），

∴PA=t+1，

∵∠AOC=∠PHA=90°，∠A=∠A，

∴△AOC∽△AHP，

∴，

∴，

∴PH=，

∵PM∥BC，，

∵B（3，0），P（t，0），

当点P在点B左侧时，BP=3﹣t，

∴，

∴CM=，

∵S△PCM=2，

∴=2，

∴t=1，

∴P（1，0），

当点P在点B左侧时，BP=t﹣3，

∴，

∴CM=，

∴，

∴t=1±2，

∵点P是x轴正半轴上的一个动点，

∴P（1+2，0），

∴P点坐标为（1，0），（1+2，0）．

考点：二次函数综合题、用待定系数法求解析式、相似三角形的判定和性质