Question

已知△ABC中，BC=5，以BC为直径的⊙O交AB边于点D．

（1）如图1，连接CD，则∠BDC的度数为 ；

（2）如图2，若AC与⊙O相切，且AC=BC，求BD的长；

（3）如图3，若∠A=45°，且AB=7，求BD的长．

Answer

（1）90°；（2）（3）BD的长为3或4．

【解析】

试题分析：（1）如图1，只需依据直径所对的圆周角是直角就可解决问题；

（2）如图2，连接CD，根据条件可得△ACB是等腰直角三角形，从而得到∠B=45°，再根据直径所对的圆周角是直角可得△BDC是等腰直角三角形，然后运用勾股定理就可解决问题；

（3）如图3，连接CD，根据条件可得△ADC是等腰直角三角形，从而得到DA=DC，设BD=x，然后在Rt△BDC运用勾股定理就可解决问题．

试题解析：（1）如图1，

∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°

故答案为90°；

（2）连接CD，如图2，

∵AC与⊙O相切，BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∠ACB=90°．∵AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，∴∠DCB=∠B=45°，∴DC=DB．∵BC=5，∴BD2+DC2=2BD2=52，

∴BD=；

（3）连接CD，如图3，

∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∵∠A=45°，∴∠ACD=45°=∠A，∴DA=DC．

设BD=x，则CD=AD=7﹣x．在Rt△BDC中，x2+（7﹣x）2=52，解得x1=3，x2=4，

∴BD的长为3或4．

【考点】圆的综合题．